稍微了解一點(diǎn)量子力學(xué)的讀者，可能會(huì)覺(jué)得量子力學(xué)中最“匪夷所思”的觀念，就是那個(gè)“波粒二象性”，即觀測(cè)對(duì)象既可以是粒子、也可以是波。時(shí)至今日，前沿科技領(lǐng)域中認(rèn)為是波的觀點(diǎn)還占據(jù)主導(dǎo)。被因果律熏陶了千年的物理人，可是花了不短時(shí)間來(lái)接受這種“匪夷所思”之觀，并將其發(fā)揚(yáng)光大，成就量子力學(xué)的宏圖偉業(yè)。按 Ising 牽強(qiáng)附會(huì)的感受，如果將這種“二象性”的范疇在現(xiàn)象學(xué)意義上擴(kuò)展，推廣到對(duì)同一個(gè)對(duì)象或效應(yīng)可分別、或共同用“粒子”和“波動(dòng)”圖像描述，則物理人的感覺(jué)就會(huì)舒服很多，就如圖 1(A) 所示一般。本文打算就這樣開(kāi)始，看看效果如何。

這一“二象性”的表象似乎是：粒子圖像著重局域性，將整體物理效應(yīng)表達(dá)為大量粒子相互作用的后果，即各類(lèi)相互作用力導(dǎo)致粒子之間的散射。此時(shí)，單個(gè)粒子動(dòng)力學(xué)的描述就是核心。波動(dòng)圖像，則著重整體協(xié)同與關(guān)聯(lián)，將局域物理效果表達(dá)為波動(dòng)的疊加、干涉、衍射的后果。此時(shí)，波動(dòng)演化，如振幅、頻率 / 波長(zhǎng)的演化動(dòng)力學(xué)就是核心。從此意義上看，量子力學(xué)處理的世界，其能量尺度和時(shí)空尺度可能正好給了粒子圖像和波動(dòng)圖像“相若相合”而“琴瑟和鳴”的機(jī)會(huì)，從而使得“波粒二象性”大行其道。兩者的特征，從不同側(cè)面表現(xiàn)出來(lái)，讓觀測(cè)者覺(jué)得這是“粒子”或“波”。這一圖像用圖?1(B) 所示之經(jīng)典固體波的傳播來(lái)表達(dá)，最為直觀：您整體看是波在運(yùn)動(dòng)，您局域看是一個(gè)粒子在運(yùn)動(dòng)。

如此觀念，并非一定要在量子力學(xué)中才能被清晰而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)。外行如 Ising 者，這里有點(diǎn)要抬杠的意思^_^！量子力學(xué)作為革命性理論，其中一些觀念也可借用到經(jīng)典物理和數(shù)學(xué)上，作為樸素表達(dá)的一種“思辨”。如此這般的馬后炮式牽強(qiáng)附會(huì)，是 Ising 的強(qiáng)項(xiàng)。讀者不妨放棄嚴(yán)格和較真的態(tài)度，姑且看看 Ising 就其較為熟悉的幾條橫道豎理，說(shuō)出個(gè)一二，以判斷“波動(dòng)”與“粒子”共存在科學(xué)內(nèi)涵上是否有跡可循。

(A)

?

(B)

圖 1. (A) 量子力學(xué)所要表達(dá)的“波粒二象性”：空間傳播是波動(dòng) (物質(zhì)波)，而能量行為是粒子 (準(zhǔn)粒子)。(B) 經(jīng)典固體中波的縱向和橫向振動(dòng)傳播，其中黑色方塊表達(dá)一個(gè)所謂的“粒子”。

(A) from https://factmyth.com/factoids/light-is-both-a-particle-and-a-wave/。(B) from

https://www.mtu.edu/geo/community/seismology/learn/seismology-study/body-wave/。

Ising 無(wú)所事事之余，之所以想詭辯這種視覺(jué)，乃是以為凝聚態(tài)物理中的現(xiàn)象學(xué)相變過(guò)程、或者說(shuō)朗道對(duì)稱(chēng)性范式下的對(duì)稱(chēng)性破缺、亦或說(shuō)量子材料中各種量子態(tài)的產(chǎn)生湮滅 / 共存 / 競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中，波動(dòng)作為媒介要更“容易”、更善于“妥協(xié)”、更趨于“逐漸” (時(shí)間長(zhǎng)一些)，所需能量也就更低。而粒子化模式 (具體而言，如“成核長(zhǎng)大”過(guò)程)，則表現(xiàn)得更 sharp、革命化、tough 化，需要更高能量激發(fā)，但一旦發(fā)生卻更快、更突然。讀者可看到，Ising 這里的表達(dá)很大白話！也因此，量子材料中那些通過(guò)對(duì)稱(chēng)破缺、成核長(zhǎng)大等高能過(guò)程而實(shí)現(xiàn)有序態(tài)的物理效應(yīng)，其中可能隱含有一些未曾被揭示的、更“波動(dòng)”的物態(tài)。借助合適的量子材料，去“顯示”這些物態(tài)，應(yīng)該很 exciting 和 high？！

不信，來(lái)看幾個(gè)例子：

(1) 首先，看高等數(shù)學(xué)。對(duì)一局域幾何形狀，例如 xy?坐標(biāo)系中一個(gè)矩形，當(dāng)然可以用一個(gè)局域函數(shù) (數(shù)學(xué)表達(dá)式) 來(lái)描寫(xiě)，如圖 2(A) 所示。這種局域、粗暴描述的觀念，大約就是“粒子化”的模式。而學(xué)過(guò)微積分的人也知道，用一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)或三角函數(shù)級(jí)數(shù)，可以無(wú)限趨近這一形狀。這些級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)是什么呢？可看成是具有特定頻率 / 振幅的波。這些波在整個(gè)坐標(biāo)系中疊加，即“堆疊”出這一局域的矩形形狀。這似乎也是整體的波和局域的粒子間一種等價(jià)性。Ising 當(dāng)年學(xué)習(xí)微積分和級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)，隱約感受到這種觀念，并在后來(lái)的博士論文中半推半就運(yùn)用過(guò)。物理人似乎很早就嘗試用“波”及其疊加來(lái)描述任意一個(gè)幾何對(duì)象，這不就是“任意一物體既是粒子也是波”的意象么？

(2) 其次，看凝聚態(tài)中熱力學(xué)相變。那些歸屬于朗道對(duì)稱(chēng)性破缺的相變，似乎可用粒子和波的觀念分別去描述，有殊途同歸之意。以一級(jí)相變?yōu)槔?，有“成核生長(zhǎng) (nucleation & growth, NG or binodal)”和“調(diào)幅分解 (spinodal decomposition, SD)”兩類(lèi)模式，如圖 2(B) 的相圖所示意：

(A) 降低溫度，從母相中形核、長(zhǎng)大而形成新相，大量新相在母相中長(zhǎng)大而耗盡母相或到達(dá)兩相共存，是通過(guò) NG 模式完成相變的圖像。這里，新相胚胎很像是個(gè)粒子、是局域的，需要結(jié)構(gòu)和成分大幅度漲落而越過(guò)較高勢(shì)壘達(dá)到新相。

(B) 降低溫度，從母相通過(guò)調(diào)幅分解 SD 模式逐漸演化，形成新相。這一過(guò)程的振幅和波長(zhǎng)演化是漸進(jìn)式的 (圖?2(B) 中 SD 區(qū)域內(nèi)插入了空間濃度波的演化進(jìn)程)，直到最后階段才耗盡母相或到達(dá)兩相共存。熟悉 SD 的物理人都知道，SD 多是熱力學(xué)自發(fā)進(jìn)程、無(wú)需克服能壘，或只需很小驅(qū)動(dòng)力便可進(jìn)行。這一過(guò)程，是一種波動(dòng)，一開(kāi)始由一系列幅度無(wú)窮小、波長(zhǎng)隨機(jī)的漲落組成。隨時(shí)間延長(zhǎng)，波長(zhǎng)競(jìng)爭(zhēng)而完成擇優(yōu)選擇，繼而振幅增強(qiáng)和模式軟化 (即頻率變慢，即調(diào)幅波不斷軟化并最終走向波長(zhǎng)發(fā)散的過(guò)程，俗稱(chēng)軟模凍結(jié))。

因此，熱力學(xué)相變，可理解為是粒子圖像 (成核生長(zhǎng)) 和波動(dòng)圖像 (調(diào)幅分解) 交替并行的“二象性”。雖然教科書(shū)說(shuō)一個(gè)體系只能在 NG 或 SD 中取其一，但實(shí)際上兩者本就是共存聯(lián)動(dòng)的。一級(jí)相變那個(gè)著名的 Cahn – Hillard (CH) 動(dòng)力學(xué)方程，本質(zhì)就是波動(dòng)的，其解也可以是波動(dòng)疊加的形式。CH 方程將母相 – 新相界面處理成彌散連續(xù)幾何，將本以為是分離的 NG 和 SD 兩種模式囊括其中，讓三十年前的 Ising 很受震動(dòng)、并留下深刻印記。

有了這“首先”和“其次”的鼓勵(lì)，Ising 便可更放肆地臆斷這一擴(kuò)展的“二象性”還真是那么回事。拓展到二階相變，亦可牽強(qiáng)聯(lián)想幾個(gè)例子。

圖 2. 經(jīng)典相變物理中粒子與波“二象性”的現(xiàn)象學(xué)表達(dá)。

(A) 一個(gè)局域的矩形總可以被一系列傅里葉波疊加而無(wú)限近似，其中不同振幅和波長(zhǎng)的波用各種顏色的波動(dòng)曲線表達(dá)。(B) 二元合金一級(jí)相變的相圖，外側(cè)類(lèi)弧線表達(dá)形核生長(zhǎng) NG 的臨界線，綠色的倒置類(lèi)拋物線表示調(diào)幅分解 SD 發(fā)生的臨界線 (SD 區(qū)域內(nèi)還插入了一支調(diào)幅波的波幅隨時(shí)間演化三個(gè)階段：early, later, final)。下部展示了合金相變著名的 CH 方程及其微積分表達(dá)。(C) 鐵電材料中一個(gè)順電相結(jié)構(gòu)單元 (右) 通過(guò)對(duì)稱(chēng)破缺形成一個(gè)電偶極子 (左)，既鐵電“粒子”單元。(D) 安德森的鐵電軟模理論圖像，其中橫光學(xué)波對(duì)應(yīng)正負(fù)電荷相向振動(dòng)，在波長(zhǎng)趨于無(wú)窮 (波矢 q 減小到零) 時(shí)對(duì)應(yīng)橫光學(xué)模凍結(jié) (即頻率 ω 趨于零)，導(dǎo)致長(zhǎng)程鐵電電偶極子序。(E) 教科書(shū)中展示的自旋 (或矢量) 渦旋?–?反渦旋對(duì)，是一種低能波動(dòng)激發(fā)。(F) 自旋波的結(jié)構(gòu)，也是自旋低能波動(dòng)激發(fā)。

(A) From https://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesSquareWave.html。(B) from A. S. Abyzov et al, Entropy 21, 782 (2019), https://www.mdpi.com/1099-4300/21/8/782。(C) from K. Li et al, JACS 144, 816 (2022), https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.1c10188。(D) from B. Wei et al, Science China PMA 64, 117001 (2021), https://link.springer.com/article/10.1007/s11433-021-1748-7。(E, F) https://owlcation.com/stem/What-Are-Phonons-Magnons-and-Their-Applications-to-Spin-Wave-Theory。

(3) 再次，是鐵電相變。鐵電相變可歸于二階，也有人將其歸于弱一階。這不重要，重要的是，傳統(tǒng)鐵電理論依然從朗道對(duì)稱(chēng)性破缺框架展開(kāi)。一個(gè)電偶極子，如圖 2(C) 所示的一個(gè)晶格單元，就像一個(gè)粒子。粒子相合耦合而有序排列成鐵電疇，是典型的成核生長(zhǎng)“粒子”圖像。當(dāng)大神安德森的追隨者回頭看他老人家提出的軟模理論時(shí)，“波動(dòng)”圖像也油然而生。鐵電軟模，如圖 2(D) 所示，就是晶格光學(xué)橫模聲子演化的進(jìn)程。其振幅不斷增強(qiáng)、頻率不斷減小，及至最后頻率趨于零。聲子模軟化凍結(jié)，形成電偶極子疇，實(shí)現(xiàn)鐵電相變，雖然是很受物理人喜愛(ài)的安德森物理，但材料人更欣賞順電相中成核生長(zhǎng)完成鐵電相變的圖像。孰是孰非、未置可否，也是“二象性”的某種體現(xiàn)。Ising 以為，聲子軟模更多是經(jīng)典成核模式的一種波動(dòng)表述，它們是一件事情的兩幅面目。

(4) 以磁性相變?yōu)槔齺?lái)結(jié)尾。Ising 對(duì)磁學(xué)是外行，但也知道順磁母相中形成鐵磁 / 反鐵磁新相時(shí)，NG 模式大行其道。只是，如果磁晶各向異性不那么強(qiáng)，vortex – antivortex (V – AV) 模式或自旋波 (spin – wave, SP) 模式亦可展現(xiàn)，如圖 2(E) (V – AV) 和圖 2(F) (SP) 所示。通過(guò)波長(zhǎng)演化和波動(dòng)模式軟化而形成長(zhǎng)程磁性相，此中物理似乎類(lèi)似于、卻比鐵電中的“二象性”更豐富和寬闊，在此不論，以避免坐井觀天。

舉例這么多，讀者可能被糊涂了：到底要干什么！Ising 重復(fù)之、歸納之，大概有如下幾點(diǎn)：

(a) 所謂的波與粒子的“二象性”，并非一定是描述一種效應(yīng)的兩種機(jī)制，也可以是這一效應(yīng)的兩幅面貌，即 duality。

(b) “波動(dòng)”效應(yīng)看起來(lái)需要的局域能標(biāo)較小 (亦即需要的單位體積的能量較小)，因此在驅(qū)動(dòng)力較小時(shí)優(yōu)先出現(xiàn)，但動(dòng)力學(xué)上較為緩慢。支持這一議論最好的證據(jù)，乃來(lái)自量子磁性中的自旋波低能激發(fā)，如圖 2(F) 所示：必須是自旋波，而不是其它！而“粒子”效應(yīng)，不那么容易顯現(xiàn)，更無(wú)須強(qiáng)調(diào)所涉及的對(duì)稱(chēng)性破缺問(wèn)題。

(c) 如果驅(qū)動(dòng)力足夠大，“波動(dòng)”機(jī)制就可能被掩蓋掉，能標(biāo)較大的粒子機(jī)制就會(huì)勝出。畢竟，粒子機(jī)制是局域的，只需局域內(nèi)成分或結(jié)構(gòu)的漲落足夠大即可，且所需時(shí)間尺度會(huì)很短。波動(dòng)機(jī)制，需要整體協(xié)同、疊加，能標(biāo)也許很小，但需更長(zhǎng)時(shí)間演化。

如上三條，果若遇到合適的系統(tǒng)，就可演繹出新物理來(lái)。這一理解，似乎在量子材料中展現(xiàn)得更為顯著。特別是其中的超導(dǎo)物理，這樣的實(shí)例信手拈來(lái)。不妨再去看已被量子材料人看爛了、討論爛了的非常規(guī) d 波銅基超導(dǎo)相圖，如圖 3(A) 所示。由于強(qiáng)電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)，這里原本能標(biāo)很高的載流子動(dòng)能項(xiàng)被電子關(guān)聯(lián)大幅抑制，給了若干小能標(biāo)“波動(dòng)”態(tài)以登堂入室的機(jī)會(huì)。例如，物理人很早就知道，電 – 聲子耦合物理，除了驅(qū)動(dòng)電子庫(kù)珀對(duì)外，也能激發(fā)“電荷密度波 CDW (charge density wave)”、“配對(duì)密度波 PDW (pair density wave)”之類(lèi)。電子關(guān)聯(lián)還可能導(dǎo)致自旋漲落一類(lèi)的電子配對(duì)模式，副產(chǎn)品也有“自旋密度波 SDW (spin density wave)”、“電子向列相”之類(lèi)。相圖中圍繞在超導(dǎo)區(qū)四周的那些量子態(tài)，都或多或少與“波動(dòng)”有聯(lián)系。對(duì)其它類(lèi)別的非常規(guī)超導(dǎo)，類(lèi)似的定性議論也是適用的，只是不那么典型，在此不再絮叨，僅僅列舉鐵基超導(dǎo)的相圖一幅如圖 3(B) 所示。

圖 3. 銅基超導(dǎo)相圖 (A) 和鐵基超導(dǎo)相圖 (B)?？梢钥吹?，在超導(dǎo)相區(qū)四周都是一些“波動(dòng)”相，如 CDW、SDW、PDW、Nematic state 等。

(A) From B. Keimer et al, Nature 518, 179 (2015), https://www.nature.com/articles/nature14165。 (B) From J. H. Wang et al, Advances in Physics X 6, 1878931 (2021), https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/23746149.2021.1878931。

非常規(guī)超導(dǎo)相圖的這些“波動(dòng)”特征，給物理人一種印象：CDW、PDW、SDW 等這些“波”，應(yīng)該是非常規(guī)超導(dǎo)的內(nèi)在屬性：只要壓制那些高能標(biāo)的物理過(guò)程，如引入強(qiáng)關(guān)聯(lián)去壓制動(dòng)能項(xiàng)，超導(dǎo)體系就可能衍生出與電子超導(dǎo)配對(duì)“牽扯不清”(競(jìng)爭(zhēng)、共存或相干) 的、具有“波動(dòng)”屬性的物理、物態(tài)。這樣的物理，在銅基超導(dǎo)、鐵基超導(dǎo)、魔角超導(dǎo)、甚至是才出現(xiàn)的鎳基超導(dǎo)中，似乎都若隱若現(xiàn)、宛若江湖傳說(shuō)一般！揭示并操控它們，是超導(dǎo)物理人的宿命，否則他們就得“曾經(jīng)滄海難為水”了^_^！

稍等！真的必須要非常規(guī)超導(dǎo)么？常規(guī)超導(dǎo)中，或者干脆說(shuō)電 – 聲子耦合主導(dǎo)的超導(dǎo)中，難道就沒(méi)有這些“波動(dòng)”屬性的舞臺(tái)了？

這樣的問(wèn)題，最近就被人提及，并被認(rèn)認(rèn)真真地探討了一番。被探討的意義，Ising 以為有兩個(gè)層面：(1) 常規(guī)超導(dǎo)中有否低能標(biāo)的“波動(dòng)”物態(tài)什么事？又是什么事？(2) 如果有，傳統(tǒng)超導(dǎo)物理能不能展現(xiàn)其存在？這樣的意義，不能說(shuō)是天大的物理，但也是很重要的物理。

呈現(xiàn)這一意義的超導(dǎo)體，其實(shí)就在眼前，即最近幾年備受關(guān)注的釩基籠目超導(dǎo)體 (kagome metal) AV₃Sb_5?(A = K, Rb, Cs)，其晶體結(jié)構(gòu)和超導(dǎo)相圖顯示于圖 4(A) 和 4(B) 中。這一籠目材料類(lèi)別，乃由米國(guó)加州大學(xué)圣巴巴拉分校的帥哥 Stephen D. Wilson?小組發(fā)現(xiàn)，隨即引發(fā)量子材料領(lǐng)域同行高度關(guān)注，包括超導(dǎo)電性、CDW、PDW 等“波動(dòng)”物態(tài)，也紛紛被確認(rèn)和深入探討。特別指出，我國(guó)學(xué)者在這一領(lǐng)域成績(jī)斐然，包括中科大陳仙輝老師、中國(guó)科學(xué)院物理所胡江平老師在內(nèi)的諸多知名團(tuán)隊(duì)都很有建樹(shù)，如仙輝老師他們關(guān)于 CDW、江平老師他們關(guān)于局域自旋反演破缺調(diào)制 (手性磁通相 chiral flux phase, CFP)?等結(jié)果。2022 年，江平老師他們?cè)?jīng)在《物理學(xué)報(bào)》期刊中刊發(fā)過(guò)一篇對(duì)這一主題的科普總結(jié)?(https://wulixb.iphy.ac.cn/article/doi/10.7498/aps.71.20220891)，非常棒！感興趣的讀者可前往御覽閱讀，Ising 在此不再絮叨。

圖 4. 具有 kagome 晶格的無(wú)磁性金屬化合物 AV₃Sb_5?之結(jié)構(gòu) (A) 與量子態(tài)相圖 (B)。有意思的是，一旦進(jìn)入超導(dǎo)區(qū)域 (無(wú)論 V – shaped 還是 U – shaped 區(qū)域)，高溫區(qū)形成的 CDW 和其它“波動(dòng)”漲落都全數(shù)湮滅、不復(fù)存在。這與非常規(guī)超導(dǎo)體的超導(dǎo)相區(qū)內(nèi)非常“不干不凈”的結(jié)果大相徑庭。

(A) From H. X. Li et al, PRX 11, 031050 (2021), https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031050。

(B) From H. Yang et al, Science Bulletin 67, 2176 (2022), https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S2095927322004753。

具有 kagome 晶格的 AV₃Sb_5?金屬，就具備如上提及的“被探討之意義”：

(1) kagome 點(diǎn)陣，更多是一類(lèi)準(zhǔn)二維的晶格，由六邊形和三角形交替嵌套而成，其面內(nèi)平移對(duì)稱(chēng)性很低，大大壓縮了高能標(biāo)物理的可能性。如此，載流子要在面內(nèi)遷移就很困難，導(dǎo)致明顯的所謂“平帶”效應(yīng)。這，很像魔角體系中的 Moire 條紋晶格，也具有強(qiáng)“關(guān)聯(lián)”或“平帶”物理！

(2) 這類(lèi)體系不含磁性元素，軌道磁矩也無(wú)多少非同尋常。針對(duì) AV₃Sb_5?超導(dǎo)電性的諸多研究，似乎都指向一個(gè)共同結(jié)論：這是一類(lèi) s 波常規(guī)超導(dǎo)！似乎 BCS 理論或歸于此類(lèi)的電 – 聲子超導(dǎo)理論模型，應(yīng)可用來(lái)描述其中的物理，包括諸如 Holstein model 這樣的理論模型。

(3) 既然無(wú)磁性、是 kagome，體系中出現(xiàn)小能標(biāo)“波動(dòng)”物態(tài)并不稀奇。也就是說(shuō)，其中出現(xiàn) CDW、PDW 等與超導(dǎo)競(jìng)爭(zhēng)的“波”物理或“波動(dòng)”態(tài)，似乎也情有可原。但是，諸如 Holstein model 這樣的經(jīng)典模型，真的能給出這些個(gè)“情有可原”么？

回答這一問(wèn)題，不是件容易的事，但亦有好此之物理人。來(lái)自米國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校的理論凝聚態(tài)學(xué)者 Richard T. Scalettar?教授領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)，與來(lái)自米國(guó)田納西大學(xué)和洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的團(tuán)隊(duì)合作，對(duì)此展開(kāi)了探索。Ising 非物理人、更非超導(dǎo)理論物理人，即便是抱著 Scalettar 教授他們最近刊發(fā)在《npj QM》上的理論大作讀了很久，依然未能窺得其中分毫。不過(guò)，他們的文章寫(xiě)得很瀟灑而清晰，外行多看幾遍，亦可看出一點(diǎn)熱鬧。他們的工作大意如此：

(a) 既然 kagome 體系如 AV₃Sb₅ (A?=?K, Rb, Cs) 非磁性、展現(xiàn)的多是 s 波超導(dǎo)物理，為何其中會(huì)有常規(guī)超導(dǎo)中不常見(jiàn)的 CDW？大量實(shí)驗(yàn)和理論討論，都確認(rèn)了?AV₃Sb₅ 中的 CDW。那么，一個(gè)典型的電 – 聲子耦合模型，就應(yīng)該能容納 CDW，不是么？

(b) Holstein model 是傳統(tǒng)超導(dǎo)物理中用于描述電 – 聲子 (Einstein phonon) 耦合、既簡(jiǎn)單又典型的模型，曾被廣泛研究、并被拓展去描述非常規(guī)超導(dǎo)中的電 – 聲子相互作用物理 (考慮關(guān)聯(lián)后，即那個(gè)著名的 Hubbard – Holstein 模型)。簡(jiǎn)單又著名，說(shuō)明其拽著了常規(guī)超導(dǎo)體系中電 – 聲子耦合的關(guān)鍵。而電 – 聲子耦合，又是 CDW出現(xiàn)的根源之一。

(c) Holstein 模型已被成功用于預(yù)測(cè)諸如正方點(diǎn)陣、蜂窩點(diǎn)陣和 Lieb?點(diǎn)陣中的 CDW 和超導(dǎo)電性?，F(xiàn)在，該輪到 AV₃Sb_5?這一 kagome?金屬體系了，且它亦是 s 波常規(guī)超導(dǎo)體系。去看一看這一模型能否捕捉到 kagome?點(diǎn)陣中 CDW?的蹤影，無(wú)疑是有價(jià)值并令人迫不及待的題目！

(d) 果不其然，Scalettar 教授他們利用最近發(fā)展出來(lái)的混雜蒙特卡洛模擬方法 (hybrid Monte Carlo simulation)，揭示出該點(diǎn)陣存在 3 × 3 的 CDW 有序態(tài)，雖然這一有序態(tài)只出現(xiàn)在電子填充濃度 (average electron filling) <n> = 2/3 的固定點(diǎn)處。他們的部分計(jì)算結(jié)果顯示于圖 5 中 (詳細(xì)描述參見(jiàn)原文)。更進(jìn)一步，他們還估算了 CDW 出現(xiàn)的溫度。結(jié)果是，溫度與電子動(dòng)能項(xiàng)成正比，但卻很低。大量的搜索計(jì)算顯示，在任何其它 <n> 和高溫區(qū)，都無(wú) CDW 的蹤影?？雌饋?lái)，CDW 在這一模型中有稍縱即逝的味道。

圖 5. Scalettar 他們針對(duì) kagome metal 晶格，從 Holstein 模型出發(fā)，基于 hybrid Monte Carlo simulation 得到的主要結(jié)果。

(A) 特定參數(shù)空間中，不同溫度 (1 / b) 下平均電荷密度 <n> 與化學(xué)勢(shì) μ 的關(guān)系，清晰展示出在 <n> = 2/3 處存在平臺(tái)區(qū)，對(duì)應(yīng)于 μ ~ – 0.5 處。(B) <n> = 2/3 處電子動(dòng)能處于最小值，意味著 CDW 的確會(huì)出現(xiàn)于此。(C) 計(jì)算得到的 CDW 結(jié)構(gòu)因子 S_CDW 與電 – 聲子耦合強(qiáng)度 λ_D 的關(guān)系。很顯然，μ ~ 0.4 時(shí)，結(jié)構(gòu)因子 S_CDW 出現(xiàn)敏銳峰值，證實(shí) kagome 金屬點(diǎn)陣模型體系中是可以出現(xiàn) CDW 的，令人印象深刻。

所有這些模型討論與模擬結(jié)果，顯示出 CDW 這個(gè)“波”出現(xiàn)在 Holstein model 中是不容易，但不是不可能。給定 kagome?金屬、給定 AV₃Sb₅，也可以形成 CDW，令人感受到電 – 聲子耦合和超導(dǎo)物理是多么擅長(zhǎng)“川劇變臉”、多么容易“人面桃花”而“波粒二象”。就這一點(diǎn)，該項(xiàng)理論工作是有一定意義的，并提示物理人：常規(guī) s 波超導(dǎo)中也是可以有很多好物理的。阿門(mén)！

雷打不動(dòng)的結(jié)尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請(qǐng)諒解。各位有興趣，還請(qǐng)前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Charge order in the kagome lattice Holstein model: a hybrid Monte Carlo study

Owen Bradley, Benjamin Cohen-Stead, Steven Johnston, Kipton Barros & Richard T. Scalettar

npj Quantum Materials 8, Article number: 21 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00553-y