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包括 Ising 在內的黎民百姓，崇尚眼見為實，在周圍實空間中看到什么就描述什么。這是認識客觀世界的基礎，所以物理人注重描繪物體的大小、形狀及其運動。

后來，為了方便描述衍射物理，也基于對固體相互作用的深刻理解，物理人構建了實空間的倒易空間、動量空間或波矢 k 空間 (含時空間)。

Whatever，將觀測到的運動世界 map 到 k 空間中去，顯示了顛倒世界的無尚風景。這種倒置的“對應”關系，構成了今天物理人、特別是凝聚態(tài)物理人的研究平臺之一?？雌饋?，物理人似乎形成了某種“條件反射”：實空間的世界里有什么，就要嘗試在 k 空間中探索類似的效應。

由此，k 空間中的“布里淵區(qū)”，亦成為波函數(shù)的三維坐標空間。這種倒置的三維空間，成為量子材料討論問題的主體世界，反倒是實空間的物理顯得有些 low 了。

當然，量子材料的主要任務，不是去關心材料實空間的顯微結構和力學性能，不是去關心其加工成型和操控，而是更關注其中的量子載體──電子的集體運動行為，表現(xiàn)為 k 空間中波函數(shù)的形狀、相互作用和運動好壞快慢等。

舉個例子，對實空間一物體，為了某種目的，可以切割、剪裁物體的大小和特定形狀，為我所用。也可利用簡單力學原理做成角材、工字材，減輕物體重量而依然保持原來的性能品質。

還可以利用對稱性構建各種圖案 (如蜂窩點陣、kagome 點陣、Penrose 拼盤等) 以顯示美感和更多功能。更可以將其扭轉、對接而制作成“莫比烏斯帶”一般的拓撲非平庸幾何結構。如此等等，形成了今天材料使用的各種行業(yè)，使得日常生活更方便、高效和舒適。

這樣簡單的處理加工理念，物理人也希望運用到 k 空間的“物體”上，希望如此這般地實施后，也得到類似效果。當然，這里所謂的“物體”，就是能帶。這里的所謂“效果”，就是量子材料能帶的各種形態(tài)、尺度、相互關系及其對應于實空間的輸運與轉換性能，對吧？！Ising 外行，只是班門弄斧，從幾個點上羅列編撰一些線條。

許多年來，物理人特別關注費米能級附近能帶的方圓疏密、尖寬胖瘦，從而能對量子輸運和光電轉換等過程的快慢深淺、各向異性一覽無余，如圖 1(A) 所示。金屬和半導體科技，從這一“方圓疏密、尖寬胖瘦”中獲得了眾多發(fā)現(xiàn)、革新和應用，不一而足；也促成能帶理論成為凝聚態(tài)物理的核心。

后來，固體物理引入自旋自由度，建立了金屬磁性微觀理論，勾畫了上下自旋能帶劈裂 shift 成鐵磁金屬，對能帶理論亦有推動與發(fā)展。不過，即便到這一步，物理人還是很少對能帶的整體或局部幾何性質給出清晰認識、并加以操控。他們做得最多的，是將費米能級處的載流子遷移率和有效質量等物理量提取出來，并與能帶色散、自旋磁矩等相聯(lián)系，以改善材料性能。

對能帶整體幾何形貌和局部幾何的特別關注，可能起始于非常規(guī)超導或電子關聯(lián)物理?；蛘叱兜酶h一些，起始于費米能附近那些能標較小的物理效應 (例如拓撲、自旋相關激發(fā)、平帶、自旋 – 軌道耦合 SOC 等)。圖 1(B) 示意了其中一些簡單情形，讓讀者感受到量子凝聚態(tài)的快速發(fā)展態(tài)勢。到了今天，物理人已習慣于關注能帶的整體幾何性質，使之成為拓撲量子物理研究的核心。圖 1(C) 所示的，即是能帶整體幾何性質的一種表現(xiàn)，也是本文即將觸及的主題。

圖 1. 物理人擅長描繪的 k 空間能帶結構之幾個例子。(A) 固體電子態(tài)最簡單直觀的表達，包括金屬 (a)、半金屬 (b)、半導體 (c) 和絕緣體 (d)。(B) 在 k 空間中，電子自旋和軌道自由度相關物理的一種展現(xiàn)，包括自旋 – 軌道耦合 SOC、軌道霍爾效應 OHE (orbital Hall effect) 等。(C) 在 k 空間中，狄拉克和拓撲量子體系的貝里曲率，其中狄拉克錐 (Dirac cone) 處貝里曲率用顏色表示、軌道角動量用箭頭表示。圖示細節(jié)內容，請參閱相關文獻 (鏈接地址)。

(A) J. S. Miller, Chemistry Europe 25, 11177 (2019), https://chemistry-europe.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/chem.201903167。

(B) D. Go et al, PRL 121, 086602 (2018), https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.121.086602。

(C) Illustration of the Berry curvature and orbital angular momentum, from M. Schuler et al, Sci. Adv. 6(9), eaay2730(2020), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aay2730。

總之，物理人似乎養(yǎng)成了一種習慣或條件反射，不自覺將實空間和 k 空間對照一番、比劃一下。不知道這是否正成為發(fā)現(xiàn)新物理、構建梳理新思路的一把密鑰！當然，這種對照，也可能源于物理人進行的形象類比和通俗科普，以便更多人理解并給予支持，即便這樣的類比有效或無效、嚴謹或粗糙。不過，相互顛倒的兩重世界之間，如果存在某種對應或鏡像，哪怕是類比，只要能更新或深化物理人對客觀世界的理解，也未必不是好事。且看 Ising 在囫圇吞棗之后，如何比劃這種類比、對照。不妨選擇實空間的電磁學及其 k 空間的類比，作為討論的切入點。

選擇電磁學作為議論對象，乃是因為電磁學可能是經典物理學表現(xiàn)最豐富和最親切的分支學科。物理人任何時候去“一步三回顧”電磁學或電動力學，都可能有新收獲：

(1) 電磁學主要討論兩個基本物理量，即實空間的電場 E 和磁場 B (磁感應強度)。前者是矢量、徑向指向而一往直前，后者是贗矢量、軸向 (橫向) 指向而環(huán)繞往復。前者對電荷的作用是電場力、點乘；后者對運動電荷的作用是洛倫茲力、叉乘。電場和磁場的這兩類屬性，驅動電子作縱向和橫向運動?；蛘吒话愕?，它們一起驅動電磁場組合運動，構成電磁輸運的基礎。很顯然，因為電場、磁場都能對運動電子施加作用，在固態(tài)量子體系的 k 空間中，它們也應該是主角。物理人希望由此在 k 空間中創(chuàng)造一個“電磁學”的世界，創(chuàng)造出類比電場或磁場的新物理量。當然，電場這一與時間無關的極矢量在 k 空間中依然可用，但 k 空間中類比于磁場的物理量之意義就不那么清晰。

(2) 凝聚態(tài)物理中，展示電磁場、特別是磁場主角形象的最佳場景，肯定是霍爾效應了。圖 2(A) 所示為霍爾家族的主要成員。電場驅動載流子縱向運動，給了磁場驅動其橫向霍爾漂移的機會，這是基本認知。接下來，如果存在一個等效磁場 (如鐵磁材料的磁矩，就是等效磁場)，則反?；魻栃湍艿翘萌胧?。一般情況下，反?；魻枙茱@著，堪比強磁場下的正?；魻?。因此，反?；魻柺呛軓姷奈锢恚囟ㄓ懈羁痰钠鹪?。這兩大效應在物理人的研究中日久彌新，給凝聚態(tài)物理和量子材料以巨大影響。磁場或磁性，及至與磁性相關的自旋自由度和磁矩序參量，也早就成為凝聚態(tài)物理的重要內涵。

(3) 量子霍爾效應，超越正常和反常霍爾效應，早就粉墨登場了。以二維電子氣中的霍爾效應為例：隨磁場 B 變化，霍爾電阻呈現(xiàn)漂亮的霍爾平臺。物理人對此的理解是，填充于費米面附近能級的電子，在磁場 B 作用下將回環(huán)運動。因為電子能級是離散化的，即所謂朗道能級，所以就有了霍爾臺階。此時，如果二維電子氣是非磁性的，觀測到的就是量子霍爾效應。如果體系是磁性的 (例如鐵磁性)，則二維電子氣可以呈現(xiàn)反常量子霍爾臺階，雖然這樣的效應一直到 2010 年代才在磁性拓撲絕緣體中觀測到。

(4) 無論是經典還是量子霍爾，外加磁場或等效磁場都是必要條件。對電磁學，磁場 B 的存在也是電子橫向漂移運動的必要條件。如果再從微觀機制層面看，由經典洛倫茲力到量子的朗道能級，磁場同樣不可或缺。如果一定要較真這一說辭，不妨回顧一下電動力學中的 AB 效應 (Aharonov – Bohm 效應)。此時，物理人似乎初步“放棄”了直接討論磁場 B，轉而用經典電動力學中的磁矢勢，再引入量子力學中幾何相位概念，就可以理解 AB 效應了，如圖 2(B) 所示。這里有兩個層面的意涵。其一，AB 效應提升了磁矢勢概念的重要性，它與磁場 B 至少存在數(shù)學上的聯(lián)系 (磁場、磁通、磁矢勢)，且磁矢勢遠比磁場的意義深刻。其二，雖然磁場 B 不在兩束電子束運動路徑上 (即電子束沒有被施加洛倫茲力)，但改變 B 依然可以影響兩束電子束的疊加干涉效果。干涉圖樣 shift 的方向，正是與電子束運動方向和磁場 B 方向正交的方向，這與霍爾效應的空間幾何關系有類似之處。

圖 2. (A) 霍爾效應家族。(B) 在 k 空間中的貝里相位物理，與在實空間中的電磁學之間，存在某種對應關系。(C) 連接實空間電磁學和 k 空間量子力學之最簡單圖像：AB 效應。(D) 拓撲半金屬的能帶結構 (tilted Dirac cones) 和對應的貝里曲率分布。

(A) C. Z. Chang et al, JPCM 28, 123002 (2016), https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/28/12/123002。

(B) AB效應中的磁場和相位。https://zhuanlan.zhihu.com/p/98419661。

(C) 來自牛謙老師在北京大學的學術演講(2014-10-23) 《Berry phase effects on Bloch electrons in electromagnetic fields》，https://www.slideserve.com/gerodi/berry-phase-effects-on-bloch-electrons-in-electromagnetic-fields。

(D) K 空間中拓撲半金屬中的能帶結構與對應的貝里曲率，H. Li et al, NC 7, 10301 (2016), https://www.nature.com/articles/ncomms10301。

如上 (1) ~ (4) 的邏輯梳理，讓物理人感受到，對霍爾效應的認知，正逐漸從“磁場誘發(fā)的效應”過渡到“部分與磁場相關的效應”，最終到達“與磁場無關的效應”。正是如此，霍爾效應最終也成為展示量子凝聚態(tài)或量子材料效應的良好平臺?(可能是最重要的平臺)。最近受關注的“非線性霍爾效應”就是一個例子。它顯性上與磁場 B 沒有關系，表現(xiàn)為縱向電場驅動下的橫向倍頻電壓信號。這些認知過渡的背后，是對量子力學中幾何相位的深刻認識。所謂幾何相位，也就是 k 空間中的貝里相位 (Berry phase)，如圖 2(C) 所示。AB 效應中，兩束同源而被分開的電子束在遠處的干涉疊加，會對磁場變化產生響應，在實空間中是很匪夷所思的。但是，如果從磁場攜帶磁通引發(fā)磁矢勢背后的貝里相位變化角度去理解，我們馬上明白：正是因為貝里相位的變化，兩束電子束在疊加時才會因為這一相位差而使干涉圖樣發(fā)生 shift。

行文至此，Ising 的感覺是：貝里相位與此處討論的實空間物理之間，既并無明確的聯(lián)系，亦有某種內在聯(lián)系。畢竟，“霍爾效應源于磁場 B 的橫向力作用”這一圖像，在物理人腦海里太深刻了。因此，將 k 空間的貝里相位與實空間的霍爾效應進行類比，進而建立貝里相位與磁性之間的聯(lián)系，就非常重要。這種聯(lián)系的建立，產生的主要結果是：在 k 空間中，貝里相位就是 AB 效應中的磁通；而貝里相位連接 (Berry connection) 即是磁矢勢；歸結到最后，貝里相位在 k 空間的變化劇烈程度 (實際上是貝里連接的 k 空間導數(shù))，即是 (或比例于) 貝里曲率 (Berry curvature)，也就是等效磁場 B。這樣的類比，可以漂亮地描述 AB 效應，成為今天理解電磁效應的量子基礎。注意到，貝里相位和貝里曲率，是在 k 空間中定義的，而波矢 k 含時間坐標。也就是說，對稱性的類似性，讓貝里曲率與磁性 (磁場) 依然是有聯(lián)系的，并展現(xiàn)了超越簡單類比的深刻物理。圖 2(D) 所示，乃是 k 空間貝里曲率分布的一個實例。

現(xiàn)在，于 k 空間中，物理人也有了貝里曲率 (貝里相位、貝里連接) 這樣與實空間的磁場 B (磁矢勢、磁通量) 對應的物理量，只是這些物理與磁場 B (包括磁性、磁通、磁矢勢) 之間已經沒有顯性的聯(lián)系。“沒有聯(lián)系”就可以讓物理人超越傳統(tǒng)磁性的束縛，將貝里物理推廣到所有可能達到之處，如非磁性、無特定對稱性要求、無 SOC、無自旋 – 晶格耦合，等等?(只是經典物理意義上的擴展^_^)。姑且大膽幻想，在 k 空間中，物理人可以試圖建立一套與經典磁性無關的“電磁學”，并發(fā)展相關的物理和應用?；谟啦粷M足的性格，物理人馬上就開始了 k 空間 (能帶空間) 中諸多“電磁學”性質的探測。例如，貝里曲率對整個布里淵區(qū)的積分，就是二維拓撲絕緣體的拓撲陳數(shù) (Chern number)。再例如，對金屬磁性，貝里曲率對布里淵區(qū)所有填充態(tài)的積分，即為反?；魻栃?，或者干脆就是貝里相位。這些性質，與磁場 B 沒有顯性聯(lián)系，雖然依然受到電場 E 的掣肘。

圖 3. (A) 反?；魻栃?(a) 對應于貝里曲率 (b)；非線性霍爾效應 (c)對應于貝里曲率一階矩 (d) (顏色不同對應于貝里曲率的變化，形成 dipole 偶極矩 Λ)。(B) 在非磁性、中心反演對稱破缺的化合物 TaAs 中，貝里曲率的分布和對應的磁單極子形態(tài)。

(A) from Q. Ma et al, Nature 565, 337 (2019), https://www.nature.com/articles/s41586-018-0807-6。

(B) TaAs化合物的貝里曲率分布，from H. M. Weng et al, PRX 5, 011029 (2015), https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.5.011029。

如果只是基于 Ising 學過的若干三腳貓知識，是遠不夠去認識物理人如何探索 k 空間的“電磁學”的。Ising 只有一些碎片化的事實描述，姑且呈現(xiàn)如下，以濫竽充數(shù)：

(1) 測量貝里曲率的方法。很顯然，能夠有效測量貝里曲率，是討論貝里相位物理的前提。實驗上，要測量一個量子材料的能帶幾何形態(tài)，可以利用角分辨光電子能譜 APRES 和利用 STM 微分電導譜。它們都是成熟技術。但用它們去獲取貝里相位和曲率，似乎并無特定優(yōu)勢。目前常用的方法，是測量平面霍爾電阻 (planar Hall effect, PHE)、量子振蕩和非線性霍爾效應等。前兩者依賴于外加磁場，不在此討論。后者則對應于 k 空間貝里曲率的一階偶極矩 (Berry curvature dipole, first moment of Berry curvature)，如圖 3(A) 所示。很顯然，那些偶極矩很大的體系，也必定是貝里曲率很強的體系。關于非線性霍爾效應的詳細介紹，讀者可御覽南方科大盧海舟老師撰寫的科普大作《讓霍爾也非線性》。

(2) 追求大貝里曲率的材料。即便是從貝里曲率和磁場 B 之間的簡單類比，物理人也能明白，鐵磁金屬和半導體體系中一定有很多大貝里曲率的體系。事實也是如此，包括萬賢綱一開始就預言的磁性外爾半金屬。除此之外，中心反演對稱破缺的非磁性體系也可有非零貝里曲率，著名的 TaAs 就是一個例子，如圖 3(B) 所示。外爾半金屬中的外爾點，其實就是貝里曲率奇異點。正因為貝里曲率類比于實空間磁場 B，物理人才將外爾半金屬中一對一對的外爾點說成是 k 空間中的“磁單極”。當然，這里的“磁單極”，并非經典電磁學中的“磁單極”，或者說此“磁單極”非彼“磁單極”。推而廣之，物理人還發(fā)現(xiàn)，在諸多 type – I 和 type – II 外爾半金屬中，那些傾斜扭曲 (tilted) 的外爾錐處不但有很大的貝里曲率，且其一階矩也可以很大，如圖 2(D) 所示：它們都是大貝里曲率的材料。

(3) 在發(fā)現(xiàn)具體材料之外，物理人也關注有哪些典型晶體結構可以有很大的貝里曲率。例如，諸多二維結構的貝里曲率可以很大，特別是那些具有垂直鏡面對稱 (點群 C_s) 的結構。具有面外旋轉對稱軸的結構、面內六角或三角對稱結構、魔角結構等二維結構，即便是完全沒有 SOC 的體系，依然可以有很大的貝里曲率及一階偶極矩。

尋找大的貝里曲率及其一階矩的各種探索，在過去幾年顯得非常熱火，也誕生了諸多成果，讓物理人發(fā)展 k 空間高品質“電磁學”的努力受到很大鼓舞。不過，這樣的探索，依然面臨材料種類和物理約束過于嚴苛的局面，即便到今天，從更原理層面去尋求一些可能的新體系，依然充滿挑戰(zhàn)和誘惑。正因為如此，時常會有一些令人一時不解、但不久卻會眼睛一亮的思路和嘗試冒出來，讓人回味而輾轉。

果不其然，來自意大利薩萊諾大學物理系 (Dipartimento di Fisica, Universita di Salerno) 的量子凝聚態(tài)理論學者 Carmine Ortix 教授 (他最近幾年十分活躍和高產)，帶領他的團隊，與瑞士 University of Geneva 的量子材料知名學者 Andrea D. Caviglia 合作，近些年一直致力于拓撲量子材料的探索。最近，他們于前人工作基礎上提出，在非磁性、非中心對稱的晶體結構中，即便沒有空穴激發(fā) (hole excitations)，依然可以由晶體場誘發(fā)出一些貝里曲率高度濃縮集中的區(qū)域，給 k 空間“電磁學”帶來實空間電磁學所沒有的別樣風景。

圖 4. 由晶體場誘導的軌道角動量可以調控貝里曲率：(A) Spin and orbital mechanisms of Berry curvature。(B) Orbital design of Berry curvature hot-spots and pinch points。

Ortix 他們的這一工作，側重于理論構建和推演，對 Ising 閱讀理解構成巨大勢壘。Ising 姑且先將部分結果集成于圖 4 中，再寫幾段囫圇吞棗式的讀書筆記：

(1) 在非磁性及 SOC 很弱的體系中，貝里曲率很強的結構應該不多。畢竟沒有等效磁場對能帶劈裂的加持效果，形成大貝里曲率并不容易。

(2) 那些中心反演對稱破缺之拓撲半金屬體系，如 TaAs 等，當然可以有很大的貝里曲率及一階矩 (dipole, first moment)。不過，這樣的體系，加上外爾半金屬的特征，需要外爾點處電子和空穴共同激發(fā)、疊加，才能實現(xiàn)大的貝里曲率效應。這一要求有些嚴苛，滿足要求的體系可能不那么多。另外，貝里曲率大的區(qū)域，主要圍繞在外爾點附近。而空間反演對稱破缺誘發(fā)的外爾半金屬，其布里淵區(qū)內形成的外爾點密度并不高，故而 k 空間整體貝里曲率就不大可能很大。

(3) Ortix 他們通過深入理論分析，似乎找到了一類具有特定軌道自由度 (軌道角動量) 的電子結構，即便不存在費米面處的空穴激發(fā)，即便沒有磁性、沒有自旋 – 軌道耦合 SOC，只要其晶格對稱性足夠低 (例如點群 C_3v?和 C_s?等對稱性)，就可以通過晶體場分裂能帶，形成若干所謂的貝里曲率會聚區(qū) (Berry curvature hot – spots) 和奇異夾點 (Berry curvature singular pinch point)，從而實現(xiàn)貝爾曲率及一階偶極矩顯著增強。當然，軌道自由度對拓撲能帶的影響，前人已經有相關研究，并非 Ortix 他們的原創(chuàng)。

(4) 基于以上分析，Ortix 他們還給出了具體的候選材料，并建議后來者去實驗驗證。他們指出，具有較強晶體場和晶格畸變、數(shù)目眾多的鈣鈦礦 ABO₃過渡金屬氧化物家族中，就存在很多這樣的體系，包括由 SrTiO₃、KTaO_3?和 SrVO₃ 等組成依 (111) 面構成的異質結體系，可能實現(xiàn)大貝里曲率效應。那些 (111) 面取向的低維晶體，也可能具有很大的貝里曲率。

應該說，Carmine Ortix 他們的這一工作，提出了一類基于晶體場和軌道自由度 (軌道角動量) 操控 k 空間貝里曲率的理論方案，并預言幾類非磁性、無 SOC 的過渡金屬氧化物低維結構可以實現(xiàn)大的貝里曲率和大的非線性霍爾效應，給了 Ising 胡謅的“k 空間電磁學”以正面素材。隨后，Ortix 他們也宣示這一理論對所謂的“軌道電子學”做出了創(chuàng)新性貢獻，并展望了這一理論框架在未來的狄拉克準粒子物理、電聲相互作用物理中所起的作用。從這一角度看，軌道自由度誘導的大貝里曲率效應，是有意義的、值得后來者跟隨和進一步探索的新物理。需要特別指出，基于軌道自由度的霍爾效應 (如 OHE)，已經見諸報道，但借助晶體場實現(xiàn)大的貝里曲率這一思路和嘗試，卻是他們新的、有意義的貢獻。

雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還是請前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Orbital design of Berry curvature: pinch points and giant dipoles induced by crystal fields

Maria Teresa Mercaldo, Canio Noce, Andrea D. Caviglia, Mario Cuoco & Carmine Ortix

npj Quantum Materials 8, Article number: 12 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00545-y

原創(chuàng)文章，作者：MS楊站長，如若轉載，請注明來源華算科技，注明出處：http://m.xiubac.cn/index.php/2023/10/03/998c13cac6/

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通向大貝里曲率的新途徑

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